11月1日の質問から：
(Ｘ－μ)/σ＝ｒcosθ，(Ｙ－μ)/σ＝ｒsinθとおくと，ＸとＹが独立でなくなると思うのですが，それでいいのですか？
確率変数（変量）の「独立性（independence）」については詳しく説明しませんでした．ふたつの変量ＸとＹがあって，それぞれの確率密度関数をｆ(x)，ｆ(y)とします．ＸとＹが「統計学的に独立である」というのは，言葉で言えば，「一方の変量の確率が他方の変量の確率にまったく影響しない」ということです．
独立性の条件を式で書けば，二変量(Ｘ,Ｙ)の確率密度関数*1が
ｆ(x)・ｆ(y)
となります．要するに，変量ペアの確率は，各変量の密度関数の「積」で与えられるということです*2．
高校で確率・統計を勉強したときに，「独立事象」に関する問題を解いたことがきっとあると思います．二つの事象ＡとＢが「独立」である条件式は，その確率Pr(Ａ & Ｂ)＝Pr(Ａ)・Pr(Ｂ)となることでした．それと同じことだと考えてください*3．
上の質問に戻りますと，変量の「独立性」は確率に関わる密度関数の性質であって，変数の値に関わる変数変換とは無関係です．
さらに言えば，正規分布の全確率が１になるという証明の過程がこの質問の発端だったわけですが，元の変量ＸとＹが独立であれば，最終的に上の極座標変換の変量ｒとθの確率密度関数は別々に因数分解されました．したがって，変数変換後のｒとθは統計学的に「独立」ということになります．
